Родился в 1878 году.
Женился, в семье родились двое сыновей - Владимир и Дмитрий.
После окончания Таврической духовной семинарии был рукоположен во священника епископом Таврическим Николаем.
26 февраля 1901 года назначен настоятелем Екатерининской церкви в Феодосии, возведен в сан протоиерея. Обладал замечательным голосом. Прекрасный проповедник, бесстрашно обличал безбожников, пользовался большим авторитетом среди прихожан. Возглавлял уездное отделение Таврического епархиального училищного совета и состоял наблюдателем феодосийских церковно-приходских школ.
В 1919 году при вступлении в Крым большевиков выехал вместе с войсками Белой армии в Новороссийск.
2 июля 1919 года вернулся в Феодосию, после того как Крым был занят армией генерала Врангеля. После повторного ухода Белых войск остался в Феодосии. Пастырь открыто и прямо говорил с людьми о том, что он не может принять в новой власти: о закрытии храмов, арестах и ссылках священнослужителей.
7 декабря 1920 года был арестован ЧК прямо в храме, обвинялся в контрреволюционной деятельности против большевиков, виновным себя не признал.
8 декабря 1920 года прихожане Екатерининского храма обратились в ЧК с просьбой освободить пастыря, так как он перенес заболевание брюшным тифом и малярией, все еще был слаб и нуждался в уходе. Но эта просьба не была удовлетворена, после чего прихожане составили ещё одно прошение.
16 декабря того же года следственная комиссия особого отдела ВЧК Чёрного и Азовского морей постановила передать дело на рассмотрение народного суда, однако дело передано в суд не было. Один из руководителей ЧК, некто Ковалев, решил, что приговор слишком мягкий и вынес свой: "Косовского, как врага РСФСР, изолировать от общества свободных граждан, - предав высшей мере наказания – расстрелу". В тот же день по приговору ЧК был расстрелян вместе с 63 священниками, беженцами с севера.
В 2000 году Архиерейский Собор Русской Православной Церкви прославил протоиерея Андрея Косовского в лике новомученников Российских. В молитвах и богослужениях он поминается как Андрей Феодосийский.
